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Begriffe und Methoden

  1. Iterationen: der Weg ins Chaos
  2. Attraktoren: Landkarten des Chaos
  3. Turbulenz: Chaos in Strömungen
  4. Determinismus: Vorhersagbarkeit von Systemen
  5. Komplexität: vom Wechselspiel verschiedener Systemkomponenten
  6. Selbstorganisation: Stabilität in chaotischen Zeiten
  7. Katastrophen: Instabilität im Grenzbereich

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Iterationen: der Weg ins Chaos

Die Iteration ist ein Verfahren, dass nicht nur in der Chaosforschung eingesetzt wird. Schon Isaac Newton entwickelte ein Iterationsverfahren zur Bestimmung von Nullstellen von Funktionen, bei denen zum Beispiel die Polynomdivision zu keinem Erfolg führte. Bei dem von Newton entwickelten Verfahren wird eine geschätzte Nullstellenabszisse x1 in die Formel

eingesetzt. In diese Gleichung wird solange das jeweils letzte xi eingesetzt, bis sich die Ergebnisse auf einen Wert eingependelt haben.

Bei dieser einfachen Iteration kommt am Ende immer ein Ergebnis heraus. In der Chaosforschung werden kompliziertere Gleichungen iteriert, bei denen dann auch mehr als nur ein Ergebnis herauskommt - dort pendeln sich die Ergebnisse nicht auf einen Wert ein, sondern fluktuieren zwischen zwei oder noch mehr Ergebnissen hin und her oder verhalten sich scheinbar zufällig - es kommt nach jeder Iteration ein neues Ergebnis heraus. Am interessantesten für die Theoretiker sind jedoch Iterationen, bei denen die Anzahl der Ergebnisse, zwischen denen die Gleichung hin und herpendelt, von bestimmten Parametern abhängt; bei bestimmten Parametern kommen auch unendlich viele Ergebnisse heraus - dann ist aus einer einfachen mathematischen Gleichung eine Form von Chaos entstanden. Den Chaosforscher interessiert hierbei das Grenzgebiet zwischen Ordnung (das Hin- und Herpendeln zwischen mehreren Werten) und dem Chaos (das scheinbar zufällige Hin- und Herspringen zwischen verschiedenen Werten ohne erkennbare Periode). Ein Beispiel für diese Art von Iteration ist das Feigenbaum-Szenario, auf das ich im Kapitel Fraktale noch ausführlich eingehe.

Überhaupt gehören Fraktale und Iteration zusammen wie Sand und Meer - die berühmtesten Fraktale wie Mandelbrotmenge oder Juliamenge entstehen aus der andauernden Iteration bestimmter Gleichungen.

Außerdem wurde das Gebiet der Chaosforschung durch eine iterierte Gleichung erschlossen bzw. wiederentdeckt, als Lorenz versuchte, das Wetter mit einem Computerprogramm vorherzusagen. Dabei stellte er fest, das minimalste Abweichungen in den Anfangswerten (Lorenz hatte einfach im ersten Versuch eine Zahl mit acht Stellen nach dem Komma als Ausgangswert genommen, während er im zweiten Versuch die gleiche Zahl auf sechs Stellen nach dem Komma rundete.) eine gewaltige Abweichung im Ergebnis hervorrufen können.

In der Natur kommen Iterationen in Form von Rückkopplungen vor. Hierbei bedingt - wie bei der Iteration - ein Ereignis in einem Prozess das nächste im selben Prozess. Bei der Rückkopplung unterscheidet man zwei Arten: negative Rückkopplung wirkt regelnd auf ein System, während positive Rückkopplung für eine Verstärkung sorgt.

Beispiele für negative Rückkopplungen sind Artenpopulationen, die sich selbst regulieren. Beispielsweise ein Ökosystem von Hechten und Forellen in einem Teich: sind mehr Hechte vorhanden, gibt es nach einem Zyklus weniger Forellen, also sterben auch einige der Hechte frühzeitig an Hunger, wodurch die Zahl der Forellen wieder wächst - dieses System ist allerdings nicht so einfach wie hier beschrieben, es wirken noch viele andere Komponenten auf das Leben in einem Ökosystem.

Als positive Rückkopplung kann man das Erhitzen von Wasser in einem Topf betrachten: erst ist es ganz still, dann - noch vor der ersten Bläschenbildung - beginnt es zu "singen". Dieser Effekt rührt daher, dass die Wasserteilchen durch die Wärme angeregt werden zu schwingen. Dabei stößt ein Teilchen das nächste an und wird wiederum von diesem angestoßen. Dadurch stellt sich eine Art "Schwingungsgleichgewicht" ein, in dem alle Wasserteilchen mit der selben Frequenz schwingen. Den entstehenden Ton hört man dann als einen leises Pfeifen - durch positive Rückkopplung ist aus einer simplen Wärmeschwingung von Teilchen ein deutlich hörbarer Effekt entstanden.

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Attraktoren: Landkarten des Chaos

Wenn man das Wort Attraktor hört, denkt man wahrscheinlich unweigerlich an attraktiv, also anziehend. Und nichts weiter ist ein Attraktor: ein Zustand, zu dem sich ein System hingezogen fühlt. Ein Pendel, das der Reibung ausgesetzt ist, wird eine Weile hin - und wieder zurückschwingen, bis irgendwann die Luftreibung sämtliche kinetische Energie aus dem System entzogen hat. Dann steht das Pendel still. Dieser Zustand ist unabhängig von der anfänglichen Auslenkung, dem Gewicht oder der Länge des Pendels, am Ende wird immer der Stillstand erreicht. Dies ist ein wichtiges Merkmal jedes Attraktors: seine Form ist unabhängig von den Anfangsbedingungen, lediglich die Anzahl der Schwingungen, bis eine gewisse Periode auftritt - in diesem Fall: bis das Pendel zum Stillstand kommt - ist von der Stärke des anfänglichen Impulses bestimmt. Dieser Attraktor hätte in einem Impuls-Ort-Diagramm die Form eines Punktes.Abb.1

Abb.1: Fixpunkt-Attraktor

Egal, welchen Anfangsort bzw. -Impuls die Schwingung auch immer hat, am Ende landet sie doch auf dem Fixpunkt-Attraktor. Für den Schwingungskörper bedeutet das, dass ihm sämtliche kinetische Energie abgezogen wurde und dass er jetzt in der Zentrallage ruht. (frei nach John Briggs und F. David Peat: Die Entdeckung des Chaos, Seite 48, Abb.1.7)



So weit, so gut, das hat ja alles noch nicht viel mit Chaos zu tun. Chaotisch wird es, wenn wir die Bedingungen etwas ändern: nun lassen wir das Pendel nicht einfach in Ruhe schwingen, sondern bringen einen Motor an, der dem Pendel einen periodischen Impuls gibt, ihm also Energie zuführt. Da dieses Pendel nicht zum Stillstand kommt, müsste der Attraktor eine andere Form als einen nulldimensionalen Punkt haben. Und tatsächlich: er beschreibt jetzt im Impuls-Ort-Diagramm eine Kreisbahn, deren Radius leicht chaotisch variiert.Abb.2 Diese Form des Attraktors wird Grenzzykel genannt, da das System in bestimmten Grenzen zirkuliert.

Abb.2: Grenzzykel-Attraktor

Beim Grenzzykel-Attraktor wird ein anfänglicher Überschuss oder Mangel an Impuls durch den eingebauten Pulsgeber ausgeglichen und die Schwingung bewegt sich am Ende innerhalb des Grenzzykels. Für die Schwingung bedeutet das, dass sie zwischen zwei Punkten hin- und herschwingt, die annähernd gleichbleibende Positionen behalten. Diese Positionen schwanken innerhalb einer Zone, die dem Innenradius des Grenzzykels entspricht. (frei nach John Briggs und F. David Peat: Die Entdeckung des Chaos, Seite 50, Abb.1.10)

Wenn wir nun als dritten Versuch zwei Schwingungen koppeln, indem wir zum Beispiel das bisher benutzte System an einen Federschwinger hängen, wird das Ganze noch ein klein wenig komplizierter. Nun würde aus dem zweidimensionalen Impuls-Ort-Diagramm aus dem vorherigen Versuch ein dreidimensionales Gebilde werden. Dieses Gebilde hätte die Form eines Torus, die wie ein Donut aussieht. Auf diesem Torus-AttraktorAbb.3 würde der Pendelkörper sich bewegen und dabei einen bestimmten Punkt auf diesem Attraktor periodisch durchlaufen - wie lang diese Periode ist, das hängt vom Ausgangsimpuls ab.

Abb.3: Torus-Attraktor

Hier passiert eigentlich das selbe wie beim Grenzzykel-Attraktor, nur mit dem Unterschied, dass die Bewegungsfreiheit des Pendels jetzt zwei umfasst. Es ist jetzt ein zweidimensionaler Bewegungsablauf. Daher ist dieser Attraktor dreidimensional. Die Bewegung selber findet aber nur auf der Torus-Oberfläche statt. Auf ihr läuft der Schwingungsvektor spiralförmig entlang, wie durch die Pfeile angedeutet. (frei nach John Briggs und F. David Peat: Die Entdeckung des Chaos, Seite 55, Abb.1.18)

Ein weiterer Attraktortyp und gleichzeitig ein fundamentaler Begriff der Chaosforschung ist der des "seltsamen Attraktors", mit dem man deterministisches Chaos auf anschauliche Art und Weise darstellen kann. Hierbei verhält sich das betrachtete System so chaotisch, dass die betrachteten Werte ein scheinbar zufälliges Ergebnis liefern - der Attraktor scheint ein zufälliges Gebilde zu sein. Erst bei einer höheren Anzahl von Iterationen bildet sich eine Art Muster aus, das deutlich erkennbar ist. Bei solch einem Attraktor handelt es sich um ein Gebilde, dessen Struktur völlig zergliedert ist. Er verhält sich wie die Ringe des Saturn: je näher man sie sich betrachtet, um so mehr Ringe erkennt man. Wenn man dann ganz nah herankommt, sieht man, dass die Ringe eigentlich aus lauter kleinen Staub- und Gesteinsteilchen besteht, die um den Saturn kreisen. Einige Beispiele für seltsame Attraktoren:

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Turbulenz: Chaos in Strömungen

Das deutlichste Zeichen dafür, dass in der Natur chaotische Zustände auftreten können, findet man, wenn man einfach mal einen Fluss beim Fließen beobachtet. Man wird feststellen, dass der Fluss, obwohl alle seine Teilchen dem Weg der Gravitation von der Quelle bis zur Mündung folgen, allerlei Verwirbelungen und andere Formen hervorbringt. All diese Formen werden unter dem Begriff Turbulenz zusammengefasst. Turbulenz entsteht, wenn sehr viele sich bewegende Teilchen miteinander wechselwirken. Jedem einzelnen Teilchen kann dabei ein Bewegungsvektor zugewiesen werden, seine Bewegung hat also eine bestimmte Richtung und Geschwindigkeit. Nun ist es logisch, dass z.B. in einem Flussbett die Oberfläche nicht 100%ig glatt ist und so die Bewegungsvektoren der Wasserteilchen in Bodennähe verschoben werden. Wenn das Wasser nur sehr langsam fließt, haben die Wassermoleküle genug Zeit, wieder ihre alte, durch die Gravitation erzwungene Bahn einzunehmen. Ihnen wurde zu wenig Energie zugeführt, um anderen Wasserteilchen ebenfalls eine Änderung aufzuzwingen. Fließt der Fluss jedoch schneller, kann es passieren, dass eine kleine Beeinflussung eines Teilchens sehr schnell auf benachbarte Teilchen überspringt und diese ebenfalls aus der Bahn wirft. Mit dieser Beeinflussung der Nachbarteilchen hat das kleine, unbedeutende Wassermolekül eine Turbulenz zustande gebracht, die sich entweder durch positive Rückkopplung verstärkt und weiter um sich greift, oder durch negative Rückkopplung ausgeglichen wird und der Fluss wieder normal weiterfließt. Man kann leider nicht vorhersagen, bei welcher Geschwindigkeit ein fließendes System Turbulenzen ausbildet. Allerdings weiß man, dass Turbulenz sich in mehreren Teilschritten entwickelt. So hat schon Leonardo da Vinci festgestellt, dass zuerst ein stabiler Wirbel entsteht, der räumlich begrenzt ist. Dann, bei steigender Geschwindigkeit, reißen einige Wirbel ab und treiben davon. Bei noch weiter steigender Geschwindigkeit endlich brechen die Wirbel auf und es entsteht ein heilloses Durcheinander, das nach und nach das gesamte System erfasst. Beobachten kann man diese Stufen in einem Fluss, in dessen Mitte ein Stein die Wasseroberfläche durchragt. Erst bilden sich hinter dem Stein Wirbel, dann reißen diese ab und wandern flussabwärts und schliesslich wird der gesamte Fluss hinter dem Stein chaotisch. (vgl. John Briggs und F. David Peat: Die Entdeckung des Chaos, S. 63ff)

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Determinismus: Vorhersagbarkeit von Systemen

Ich sprach in der Einleitung schon einmal den Terminus "deterministisches Chaos" an und wies gleich darauf hin, dass dieser Begriff auf den ersten Blick widersprüchlich erscheint: was kann Determiniertheit - also Vorhersagbarkeit - mit Chaos zu tun haben? Des Rätsels Lösung ist ganz einfach: Es ist erwiesen, dass komplexes und nahezu unvorhersagbares Verhalten eines Systems durchaus aus der vielfachen Iteration einer bestimmten Gleichung entstehen kann. Unvorhersagbar - fast schon zufällig wirkend - wird das System dann, wenn die Menge der Iterationen sehr groß wird. Aber dieser Effekt beruht auf einer mathematischen Gleichung - ist also schon mit einem Taschenrechner nachvollziehbar. Allerdings muss man schon sehr viel Geduld und Muße haben, mehrere Tausend Mal die gleiche Gleichung mit dem jeweils letzten Ergebnis einzutippen. Außerdem könnte schon der kleinste Tippfehler zu unerwarteten Ergebnissen führen - Aber das nur nebenbei. Der Unterschied, der ein determiniertes System zu einem determiniert chaotischem System macht, liegt in der Art seiner mathematischen Beschreibung begründet. Während sich rein determinierte Systeme meist in lineare oder andere integrierbare Gleichungen stecken lassen, sind Gleichungen von determiniert chaotischen Systemen nicht durch die newtonsche Infinitesimalrechnung erfassbar. Sie sind meistens durch Iteration entstanden und so ist ein Ergebnis immer von dem vorherigen abhängig. Dieser Fakt erinnert stark an geometrische Folgen, aber diese haben immer die Form

.

Auf iterierte "Chaosgleichungen" kann man dieses Schema nicht anwenden, da hier der Quotient q ein nichtlinearer Term ist, in dem die Ausgangsvariable a1 eingebunden ist. Für geometrische Folgen ist es leider notwendig, für q einen einfachen linearen Term, also beispielsweise eine ganze Zahl einzusetzen. Wegen dieser mathematischen Zwickmühle muss man also, um etwa die Population einer Goldfischart in einem Tümpel nach zehn Jahren auszurechnen, zehn Mal die Population nach einer bekannten Gleichung - der Verhulst-Gleichung, zu der ich später komme - errechnen.

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Komplexität: vom Wechselspiel verschiedener Systemkomponenten

Bleiben wir gleich bei den Goldfischen. Angenommen, in dem besagten Tümpel befinden sich nicht nur die besagten Goldfische, sondern auch Algen, die als Futter für die Zierfische dienen, und denken wir uns zusätzlich noch ein paar Raubfische, beispielsweise Barsche, die die Goldfische "zum Fressen gern" haben, dann haben wir schon ein komplexes System von Fressen und gefressen werden. Jetzt hängt die Population der Barsch von der der Goldfische ab, während die von den Algen abhängig sind. Die Algen können nur leben, wenn genügend CO2 im Tümpel vorhanden ist, sie sind also von beiden Fischarten abhängig. Die Goldfische sind von den Barschen abhängig, weil deren Population nicht zu groß werden darf, um die Zierfischpopulation nicht zu gefährden. Betrachten wir jetzt einmal das Geschehen in diesem Tümpel: es sind eine bestimmte Anzahl Algen, Goldfische und Barsche vorhanden. Die Barsche brauchen eine bestimmte Anzahl Goldfische, um über ein Jahr zu kommen, während diese wiederum eine bestimmte Anzahl von Algen benötigen. Außerdem hat jede Art eine bestimmte Lebenserwartung, nach deren Ablauf eine Generation stirbt. Deshalb muss noch ein Maß für die Fortpflanzung der einzelnen Arten bestimmt werden. Allein diese Betrachtungen zeigen auf, dass das Leben in einem Tümpel sich, wenn überhaupt berechenbar, dann nur ganz kompliziert und auf keinen Fall linear entwickelt. Um zu wissen, wieviele Goldfische nach fünf Jahren noch in diesem Tümpel schwimmen, kann man entweder mit Gleichungen hantieren, die so komplex sind, dass wirklich jeder Aspekt des Lebens im Wasser enthalten ist (und die von mir aufgestellte Liste der zu beachtenden Variablen ist noch längst nicht detailliert genug!), oder man schaut einfach nach Ablauf der Zeit noch einmal in das Wasser und zählt nach, wie die Populationen sich verändert haben. An diesem einfachen Beispiel erkennt man schon, wie schnell aus simplen Voraussetzungen komplizierte - ja komplexe - Systeme entstehen können, die mit mathematischen Mitteln kaum noch zu erfassen sind. Und das dieser Fall schon sehr idealisiert war, dass erkennt man auf Anhieb. Man kann die Entstehung von Komplexität aus einfachen Grundregeln in vielen Systemen beobachten. Sogar das einfache Gravitationsgesetz entpuppt sich, auf mehr als zwei Körper angewandt, als Brutstätte einer Reihe von Phänomenen: das Eiern der Merkurbahn, die Verschiebung der Erdpole; das alles ist nur auf diese simple Regel zurückzuführen!

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Selbstorganisation: Stabilität in chaotischen Zeiten

Um das Thema Selbstorganisation zu erörtern, möchte ich noch einmal auf den Goldfischteich mit dem sehr vereinfachten Ökosystem Goldfische - Barsche - Algen eingehen. Ich hatte im vorherigen Kapitel festgestellt, dass man dieses System in Formeln zwängen könnte, wenn man alle systemrelevanten Variablen erfassen würde. Angenommen, wir haben so eine Formel und wenden diese über mehrere Jahre hinweg an. Nun zeichnen wir die erhaltenen Werte pro Jahr für jede Population in ein Zeit-Populationsgröße-Diagramm ein. Wenn wir den Teich künstlich angelegt haben, werden wir feststellen, dass anfangs die Populationen stark von Jahr zu Jahr variieren. Dabei ist vorerst kein Muster zu erkennen. Nach einiger Zeit erkennt man aber ein Muster: Es bildet sich eine sinusähnliche Kurve für jede Population aus. Lassen wir dieses System über sehr viele Jahre unangetastet, würden sich die Sinuskurven abflachen und immer mehr einer konstanten Funktion ähneln. Es hat sich in diesem System ein Gleichgewichtszustand eingestellt - es hat sich selbst organisiert. Dabei ist es unwesentlich, wie man das Verhältnis zwischen den einzelnen Populationen anfangs gewählt hat - ob man nun 3 Barsche und 6 Goldfische oder 2 und 7 in den Tümpel gesetzt hat, ist erst einmal egal. Das Verhältnis darf nur nicht zu exzentrisch sein, da sonst eine Art ausstirbt, womit auch alle anderen Arten aus diesem einfachen System verschwinden würden. Allerdings trifft dies nur auf sehr einfach aufgebaute Ökosysteme zu: in der Natur gibt es immer Arten, die im Falle eines Verlustes die entstandene Lücke schließen.

Die Selbstorganisation ist ein sehr wichtiger Faktor im Funktionieren eines Systems. Ob es nun das Ökosystem dieses Planeten ist oder die Börse - überall sorgt ein Faktor für eine negative Rückkopplung, also für eine Regelung des Gefüges. Ohne eine gewisse Selbstorganisation hätte dieser Planet das grandiose Artensterben in seiner Geschichte nicht überlebt. Wieder ein Beispiel: Die Dinosaurier waren ein wichtiger Bestandteil des Ökosystems Erde. Nach ihrem geohistorisch sehr schnellem Aussterben war das Gleichgewicht der irdischen Bevölkerung stark gestört. Wäre dieses Ökosystem nicht in der Lage gewesen, sich selbst zu organisieren, würde unser Planet heute kein Leben mehr tragen. Zum Glück gibt es aber die Selbstorganisation, die uns davor bewahrt hat, nur als gute Idee zu existieren.

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Katastrophen: Instabilität im Grenzbereich

Schon aus dem Wortgebrauch geht eine Gemeinsamkeit zwischen Chaos und Katastrophen hervor: Beides sind negativ angehauchte Begriffe und stellen eine gewisse Abkehr von der Normalität dar. Chaos ist hierbei ein manchmal dauerhafter Zustand, während eine Katastrophe plötzlich und unerwartet eintritt und Chaos hervorruft. Denken wir nur an ein Erdbeben: die Katastrophe ist das Erdbeben selbst und darauf folgt Chaos in Form von einstürzenden Häusern, in Panik fliehenden Menschen und plötzlich überall vorhandenen und arbeitenden Rettungskräften. Natürlich besteht diese Gemeinsamkeit auch in der Chaosforschung. Hier ist eine Katastrophe das plötzliche Umschlagen eines Systems von einem Zustand zu einem anderen. Bleiben wir gleich beim Erdbeben: Ein Erdbeben entsteht, wenn die Spannung zwischen zwei tektonischen Platten zu groß wird und diese sich ruckartig gegeneinander verschieben. Die Katastrophe ist also das Umschlagen vom Aufbau hoher Spannung zur explosiven Entladung der potentiellen Energie. Dabei muss die Spannung einen Grenzwert überschreiten, der unter anderem von den Gesteinsarten, von der Geschwindigkeit der Platten und von ihrer Dicke abhängt. Doch wann ist der Grenzwert erreicht, welcher Tropfen lässt das Fass überlaufen? So gesehen reicht schon ein Stampfen auf den Boden, um zwei Platten, deren Spannung schon im Grenzbereich liegt, zu einem Erdbeben anzuregen. Das erinnert doch stark an einen gewissen Schmetterling, nicht wahr? Das fehlende Wissen darüber, wie groß der Grenzbereich ist, macht eine Vorhersage von Erdbeben heutzutage immer noch schwierig. Die Forschung nach Ursachen für Katastrophen und die Suche nach Möglichkeiten zur Bestimmung der Größe von Grenzbereichen ist wesentlicher Bestandteil der Katastrophentheorie, das nach der Fraktaltheorie umfassendste Gedankengebäude innerhalb der Gedankenstadt Chaostheorie.

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