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Fraktale

  1. Grundbegriffe der Fraktalforschung
  2. Die Küste Großbritanniens
  3. Die Kochsche Kurve
  4. Der Cantor-Staub
  5. Von Farnen und anderen Gewächsen
  6. Die Juliamenge
  7. Die Mandelbrotmenge
  8. Das Feigenbaum-Szenario

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Grundbegriffe der Fraktalforschung: fraktale Dimension & Co

Bevor wir uns den verschiedensten Fraktalen zuwenden, gibt es einige Begriffe zu klären, die für die Beschreibung von Fraktalen von Bedeutung sind.

Fraktal

Das Wort Fraktal wurde ca. 1980 von Benoît B. Mandelbrot geprägt und ist aus dem lateinischen "frangere" abgeleitet, was so viel wie gebrochen, zerstückelt oder uneben heisst. Und genau das sind Fraktale: Gebilde, deren Form keine geraden Linien aufweist. Ein Wanderer auf der Kante eines Fraktals würde andauernd seine Richtung ändern müssen und würde so überhaupt nicht vorwärtskommen. Die wichtigsten Eigenschaften eines Fraktals sind seine fraktale Dimension und die sogenannte Selbstähnlichkeit.

Fraktale Dimension

Durch die gebrochene Kante eines Fraktals kann man diesem keine ganzzahlige Dimension zuordnen, wie z.B. einer geraden Linie mit der Dimension 1, einem Rechteck mit der Dimension 2 oder einem 3-dimensionalen Würfel. Vielmehr liegen die Dimensionen eines Fraktals zwischen den ganzen Zahlen. So hat beispielsweise die Oberfläche eines Gehirns durch seine zahlreichen Furchen die fraktale Dimension 2,7 bis 2,8 - die Dimension dieser Fläche liegt also zwischen der einer ebenen Fläche und der eines "glatten" Körpers aus der euklidischen Geometrie.

Die Fraktale Dimension hat in der Fraktalforschung das Formelzeichen D.

Selbstähnlichkeit

Mit Selbstähnlichkeit oder Selbstaffinität bezeichnet man den Effekt, dass man an ein Fraktal heranzoomen kann und trotzdem Formen erkennt, die der Grundform oder sonst einer Struktur, die bei kleinerer Vergrößerung schon einmal auftrat, ähneln. Dabei sieht man sehr selten zwei komplett gleiche Formen - immer gibt es einen (manchmal auch winzig kleinen) Unterschied.

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Die Küste Großbritanniens: eine unendlich lange Kurve

Benoît B. Mandelbrot stieß bei seinen Forschungen zu Fraktalen auf ein seltsames Paradoxon. Er überlegte, wie lang wohl die Küste Großbritanniens sei. Dabei stellte er fest, dass das Ergebnis vom Maßstab des Messgerätes abhängt. Benutzt man ein 100m langes Tau, das an die Küste angelegt und strammgezogen wird, erhält man, wenn man es denn mit dieser Methode um ganz Großbritannien herumschafft, eine bestimmte Anzahl von Taulängen, die man dann einfach mit 100m multiplizieren muss, um die Länge der britischen Küste zu erhalten. Es ist klar, dass bei dieser Methode viele Dellen, Ausbuchtungen und andere unregelmäßige Formen "verschluckt" werden. Die Küste ist also in Wirklichkeit länger. Nehmen wir einfach ein kleineres Lineal! Aber auch hier werden viele Unregelmäßigkeiten nicht mitgemessen. Man sieht schon, dass, egal wie klein man sein "Lineal" wählt, immer Messungenauigkeiten entstehen. Alles in allem, so stellte Mandelbrot fest, strebt die Länge der britischen Küste bei immer kleinerem Maßstab gegen unendlich. Das ist auch schon das fraktale an der Küste Großbritanniens: eine endliche Fläche mit einer unendlich langen Umrisslinie.

Abb.7: Die Küste Großbritanniens

Beim Zoomen dieser Karte erkennt man den Effekt, dass je nach Vergrößerung der Küste die Details mehr oder weniger genau aufgezeigt werden. Da bei jeder größeren Vergrößerung auch mehr Details entdeckt werden können, wird die britische Küste mit jeder Maßstabsverkleinerung länger. (Karten kopiert aus dem Computerpogramm "3D Atlas" von der Firma "Creative Wonders")

herauszoomen heranzoomen

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Die Kochsche Kurve: wir konstruieren Schneeflocken

Eins der ersten künstlichen Fraktale ist die Kochsche KurveAbb.7. Künstlich deshalb, weil hier eine mathematisch formulierbare Regel zur Bildung benutzt wird. Die Kochsche Kurve entsteht, indem man von einer Strecke das mittlere Drittel entfernt und durch zwei gleich lange Strecken ersetzt, die in Form eines gleichseitigen Dreiecks angebracht werden. Dieses Verfahren wendet man im nächsten Schritt auf alle entstandenen Teilstrecken der Kurve an und wiederholt dieses Verfahren beliebig oft. Zur Zeit seiner Entdeckung (Helge von Koch ersann sie 1904) wurde diese Form von Mathematikern als "Monster" bezeichnet, da eine Kurvenbetrachtung dieser Kurve scheiterte, weil die Entstehungsgleichung weder differenzierbar noch integrierbar war. Dass dieses Monster ein Fraktal ist, erkannte erst Mandelbrot, da er den Begriff prägte und definierte.


Abb.7: Kochsche Kurve (erstellt mit Fractint 20.0; Farben verändert)


Abb.8: Die Kochsche Schneeflocke entsteht durch das Zusammenlegen von drei Kochschen Kurven in Form eines gleichseitigen Dreiecks. (erstellt mit Fractint 20.0; Farben verändert)

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Der Cantor-Staub: unendlich viel - und doch nichts?

Ein weiteres Fraktal, das vor der Prägung des Begriffs erfunden wurde, ist die Cantor-MengeAbb.9, auch Cantor-Staub genannt. Hier wird wie bei der Koch-Kurve das mittlere Drittel einer Strecke entfernt. Allerdings werden nun von den zwei verbliebenen Teilstrecken wieder jeweils die Mittelteile entfernt. Wendet man dieses Verfahren nun sehr oft an, erhält man eine ziemlich große Menge winzigster Teilstrecken. Hätte man nun die Gelegenheit, unendlich oft die mittlere Strecke zu entfernen, hätte man als Ergebnis unendlich viele Punkte, die jeweils eine Länge von Null haben. Diese unendlich vielen Punkte verteilen sich auf ein Gebiet, das so groß wie die Ausgangsstrecke ist. Unendlich viele Punkte mit der Länge Null ergeben also eine bestimmte Länge - ein nettes Wortspiel mit den verschiedenen mathematischen Extremen null, endlich und unendlich.


Abb.9: Cantor-Staub

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Von Farnen und anderen Gewächsen: Fraktale überall

Stellen wir uns einmal vor, wir stehen in einem Wald und versuchen, Fraktale in der Natur zu finden. Was sehen wir? Vor allem sehen wir Bäume, andere Pflanzen und wenn wir ganz viel Glück haben, dann hüpft uns auch mal ein Hirsch vor die Nase. Wo sind da jetzt aber Fraktale? Überall!, ist die Antwort Benoît Mandelbrots. Die Bäume an sich, mit ihren Ästen, die sich ähnlich verzweigen wie der Stamm oder die Adern auf den Blättern, und so eine Selbstähnlichkeit hervorrufen. Die Blätter von Farnen, die in immer kleinere Einzelblätter unterteilt sind, von denen jedes einzelne der Grundform ähnlich sieht, ist ein klassisches Beispiel für Fraktale in der Natur - in jeder Abhandlung über Fraktale, die etwas auf sich hält, wird auf Farnpflanzen eingegangen und es werden immer neue mathematische Beschreibungen für diese Pflanzen gefunden. Bei einem Hirsch kann man auch ein Fraktal erkennen, und zwar sein Geweih, dass sich in immer kleinere Teilstücke zergliedern lässt, die irgendwie alle fast gleich aussehen. Natürlich kann man nicht nur im Wald auf solch eine Vielzahl von fraktalen Mustern stoßen, sondern überall in der Natur. In der Wüste bilden sich Dünen aus, die alle fast gleich aussehen. Wolken bilden auch fraktale Strukturen... Wie wir sehen, finden wir mit ein wenig Anstrengung überall Zeichen der Chaos-, speziell der Fraktaltheorie, wenn wir nur suchen (wollen).


Abb.10: einfacher Baum (erstellt mit Fractint 20.0; Farben verändert und um 90° gedreht)

Abb.11: farnähnliches Gebüsch (erstellt mit Fractint 20.0; Farben verändert und um 90° gedreht)

Abb.11: vom Winde verwehtes Gebüsch (erstellt mit Fractint 20.0; Farben verändert und um 90° gedreht)

Abb.12: sehr realistisch wirkendes Gebüsch (erstellt mit Fractint 20.0; Farben verändert und um 90° gedreht)

Abb.13: zierliches Gebüsch (erstellt mit Fractint 20.0; Farben verändert und um 90° gedreht)

Abb.14: Farnpflanze (erstellt mit Fractint 20.0; Farben verändert und um 90° gedreht)

Abb.15: vom Winde verwehte Farnpflanze (erstellt mit Fractint 20.0; Farben verändert und um 90° gedreht)

Abb.15: eine weitere Farnpflanze (erstellt mit Fractint 20.0; Farben verändert und um 90° gedreht)

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Die Juliamenge: ein Fraktal im Schatten des Apfelmännchens

Eines der ersten Fraktale, die nicht durch das Zerstückeln von Strecken entstand, ist die nach ihrem Entdecker Gaston Julia benannte JuliamengeAbb.14, wobei man eigentlich nicht von nur einer Menge reden kann, da die Juliamenge eine Visualisierung jeder Gleichung der Form

darstellt, wobei z eine komplexe Zahl darstellt, die in der ersten Iteration 0 gesetzt wird und c eine beliebige Konstante aus der Zahlenmenge der komplexen Zahlen ist, von der das Endergebnis schließlich abhängt. Zu jedem c gibt es eine Juliamenge. Bei der computergraphischen Darstellung dieser Menge(n) wird für jeden Pixel durch Iteration der Gleichung ein Wert berechnet. Die Pixelkoordinaten x und y stehen dabei für Realteil bzw. Imaginärteil der komplexen Zahl z. Für bestimmte Wertebereiche, in denen der Wert liegt, gibt es dann bestimmte Farben. Strebt die Iteration gegen Unendlich, wird nach einer bestimmten Zahl von Durchläufen unterbrochen und dem Pixel wird eine andere Farbe gegeben, die vorher festgelegt werden muss.


Abb.16: eine Julia-Menge für c = 0,3 + 0,6i (erstellt mit Fractint 20.0)

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Die Mandelbrotmenge: das Aushängeschild der Chaostheorie

Die MandelbrotmengeAbb.17 entsteht aus der Iteration der Gleichung

.

Diese Funktion ähnelt sehr der Entstehungsgleichung der Juliamengen, birgt aber einen entscheidenden Unterschied in sich: Der Index von fc(z) deutet an, dass das c bei diesem Fraktal während der Berechnung mit variiert wird. Für jeden Pixel auf dem Bildschirm gibt es einen imaginären Teil von c in y-Richtung und einen reellen Teil in x-Richtung. Für dieses jeweilige c wird dann die Funktion fc(z) iteriert. Strebt diese Iteration gegen unendlich, dann gehört der entsprechende Pixel nicht zur Mandelbrotmenge und bekommt die vorher zu bestimmende Farbe, sonst wird er wieder in einer Farbe dargestellt, die von der Anzahl der Iterationen abhängt.


Abb.17: die legendäre Mandelbrotmenge (erstellt mit Fractint 20.0)

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Das Feigenbaum-Szenario: von Raupen und anderen Populationen

Als letztes Fraktal möchte ich das sogenannte Feigenbaum-SzenarioAbb18 vorstellen. Dieses Fraktal wurde bei Feigenbaums Forschungen zu der sogenannten Verhulst-Gleichung entdeckt. Diese Gleichung, 1845 vom mathematisch versierten Biologen P.F. Verhulst entdeckt, beschreibt ziemlich genau die zeitliche Veränderung der Populationsgröße einer einfachen Art wie zu Beispiel Raupen. Sie lautet

.

Die Variable x steht hierbei für die Populationsgröße geteilt durch die maximale Population; eine Vereinfachung, die dazu führt, dass x immer einen Wert zwischen 0 und 1 hat. Die Anzahl der betrachteten Zyklen wird durch das n gekennzeichnet. Das b schließlich gibt die Fortpflanzungsrate an, eine Variable, die von Umweltbedingungen wie Futterangebot, Fressfeinden oder klimatische Bedingungen abhängt. Die Umweltbedingungen sind in einem Wert zwischen 0 und 4 zusammenzufassen. Der Faktor (1 - x) wirkt regelnd auf das System, da er bei kleinen x groß wird und so das gesamte Produkt steigert, während er bei großen x das Produkt verkleinert. Anders ausgedrückt: gibt es viele Raupen, werden weniger geboren, da der Futter- und Platzvorrat nur begrenzt ist, gibt es dagegen sehr wenig, steigt die Population rascher. Verhulst wollte mit dieser Formel die Größe einer Raupenpopulation für mehrere Jahre voraussagen. Dabei ging er davon aus, dass die Fortpflanzungsrate über die Jahre konstant bleibt. Er trug die Populationen in ein Populationsgröße-Zeit-Diagramm ein und stellte fest, dass bei einigen b die Populationsgröße gegen 0 strebte, während sie sich bei anderen b auf einen Wert einpendelte. Bei wieder anderen b stellte sich ein periodischer Wechsel der Populationsgrößen zwischen zwei, vier, acht oder 16 Werten ein. Bei wieder anderen b stellte sich gar keine Periode ein und die Populationsgröße sprang von Jahr zu Jahr scheinbar zufällig hin und her. Feigenbaum fasste alle Populationsgröße-Zeit-Diagramme zusammen, indem er nur die sich einstellenden Werte vom b abhängig in ein x-b-Diagramm eintrug. Bei einem sich einstellenden Wert trug er nur diesen in das Diagramm ein, stellte sich eine Periode ein, trug er alle Werte dieser Periode ein. Bei den b, bei denen Chaos herrschte, dass heisst, wo keine Periode feststellbar war, trug er die ersten Hundert bis Tausend ein.

Abb.18: Feigenbaum-Szenario

Man erkennt deutlich, dass sich bei diesem Fraktal Ordnung und Chaos "abwechseln": Wenn man von links nach recht geht, hat man zuerst einen Wert, dann zwei, dann vier, schließlich acht und 16 und dann bricht unvermittelt Chaos aus. Dieses Verhalten nennt man Periodenverdopplung. Feigenbaum fand heraus, dass Periodenverdopplungen bei bestimmten Zahlen liegen und fand konstante Verhältnisse von den Abständen zwischen zwei Verdopplungen, aus denen er die sogenannten Feigenbaumzahlen ableitete, die bisher bei allen Systemen mit Periodenverdopplung Gültigkeit fanden. Das Chaos wird immer wieder unterbrochen von sogenannten Intermittenzen: Inseln der Ordnung inmitten von Chaos. Diese weißen Streifen sind also nicht etwa Fehler im Programm, sondern plötzliche Ausbrüche von Ordnung.

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